Math is all around

BERGAMO SCIENZA

Si è concluso il 19 ottobre, Bergamo Scienza: una manifestazione per grandi e piccoli, una manifestazione originale e accattivante fatta di laboratori, spettacoli, esperimenti, tavole rotonde e giochi interattivi basati sulla scienza, in tutti i suoi aspetti: dalla fisica alla chimica, dalla biologia alla geometria.

La Matematica che da sempre è nemica della maggior parte degli studenti, durante questo festival è bergamoscienzastata ridipinta con nuovi colori, gusti e odori. Cambiando la prospettiva infatti, si scopre che la Regina dei numeri non è poi così lontana dalla vita reale.
Spesso gli studenti (di oggi e di ieri) sono spaventati da quei simboli e concetti astratti di cui si compone e con difficoltà riescono ad apprezzarla, finendo per inimicarsela ed evitarla il più possibile.
Bergamo Scienza, grazie anche a ForMath si pone l’obiettivo di avvicinare il pubblico alla matematica, vestendola con abiti quotidiani: è così che si possono scoprire e svelare molte curiosità…da rimanere senza parole!

Sono partiti quest’anno due laboratori molto interessanti: Numeri di magia e magia dei numeri e Matematica in Cucina.

Il primo focalizza l’attenzione sulla disciplina in sé, che si rivela un perfetto connubio di razionalità e magia. La materia del rigore e della precisione, la materia di regole e teoremi, ipotesi-tesi e implicazioni logiche, si trasforma in una bacchetta magica per affrontare l’intangibile e il mistero.
Con la matematica amica quante magie si possono fare! Quanti trucchi si possono imparare! (cosa aspetti?! È tempo di iniziare! Non è fantasia.. è tutto realtà!)

Il secondo laboratorio parte dall’idea di Enrico Giusti “La matematica in cucina” (Ed. Bollati Boringhieri) e si propone come strumento per indagare e vedere oltre la realtà quotidiana: oltre le forme, le simmetrie e le consistenze culinarie. Nel mondo dei fornelli, tra salsicce, patate e un’occhio matematico per vedere le cose, si possono imparare e capire molti fenomeni grazie alla matematica, di nuovo scienza dei numeri…ma non solo!

Tutto questo limitato a Bergamo?
Per rispettare il famoso detto “se la montagna non viene a Maometto, Maometto va alla montagna”, lo staff di ForMATH vi propone un tour nelle scuole: una serie di incontri nelle classi per poter presentare a tutti gli studenti il potere della matematica e poter così prendere per mano tutti (appassionati e timorosi, piccoli geni e convinti anti-matematichesi). Sono attività pensate per aiutare gli alunni a sconfiggere la noia e la paura, accendendo la fiamma dell’interesse e della motivazione per applicarsi in una delle materie più utili per il mondo di oggi e di domani.
Tutti coloro che sono interessati ad attivare i laboratori nelle proprie scuole possono chiedere informazioni o prenotare un incontro visitando il sito www.formath.it, o mandando una mail a info@formath.it, per diventare testimoni delle magie della matematica e prendere parte al nostro progetto.

Citius!, Altius!, Fortius!

Allineati dietro la linea di partenza non ci sono sportivi con super muscoli, ma studenti con una mente brillante: ecco chi sono gli atleti delle Olimpiadi di Matematica. La finale si è tenuta a Cesenatico dal 9 all'11 maggio e vi hanno partecipato più di 300 studenti delle scuole superiori italiane.

In questa particolare manifestazione i giovani non si sfidano sulla corsa, né sull’ampiezza del loro salto: tutta l’attenzione è posta su problemi scientifici e quesiti logici. La corsa lungo un rettilineo diventa per loro un momento per mettere in moto i neuroni e arrivare alla soluzione… uno sport che forse richiama meno il pubblico generico, ma che attira sempre più curiosi e desiderosi di sfide. Tra le squadre partecipanti, c’era quella del liceo Rambaldi-Valeriani di Imola, formata da 7 studenti: 4 di quarta, 2 di terza, 1 di seconda (di questi 7 studenti, 2 sono arrivati alle finali individuali). La loro grinta e determinazione, il loro essere team, è stato messo in risalto anche dalle magliette, che nero su bianco comunicavano citazioni sulla matematica.

Insieme hanno superato le provinciali a febbraio, e sono arrivati il 9 maggio alla semifinale a Cesenatico classificandosi settimi. Grazie al ripescaggio hanno gareggiato in finale sabato 10 maggio, e nonostante non abbiano vinto, questo ha comunque segnato un record per il liceo Rambaldi-Valeriani, che non era mai arrivato alla finale a squadre.
I 7 ragazzi, allenati da Alessandro Gambini e Federica Ferretti, dello staff di ForMATH, sono soddisfatti del risultato, ma già pensano di allenarsi duramente per riprovare a salire sul podio il prossimo anno.
Un allenamento costante e assiduo, che i ragazzi portano avanti in orario extra-scolastico, il sabato pomeriggio, approfondendo alcuni aspetti della matematica che non vengono affrontati in classe, studiando problemi di livello più avanzato, a partire dai quesiti delle edizioni passate. L’obiettivo è imparare, ma divertendosi, studiare la matematica non solo per prendere un bel voto in pagella, ma per riuscire ad assaporare la bellezza dei numeri e delle forme. Come affermano i due coach "La gara deve essere prima di tutto un divertimento, e per riuscire bene l'importante è non farsi prendere dal panico e cercare di prenderla alla leggera, come se fosse un gioco e una sfida da superare per divertirsi".

Una manifestazione che, oltre a testare le abilità dei vari studenti, ha un’eco anche tra i non partecipanti alla gara. Infatti nella finale, anche il pubblico ha la possibilità di partecipare con una gara parallela e, come afferma Federica Ferretti, "molte persone si avvicinano alla matematica anche grazie a eventi di questo tipo, dove il fare gruppo aiuta a divertirsi e crea uno spirito di squadra, per cui tutti si sentono chiamati a impegnarsi nel raggiungimento di un obiettivo comune".

La matematica allora acquisisce un ruolo centrale nella dinamica dei rapporti sociali; davanti ad un problema, ognuno mette a disposizione del gruppo la propria formazione culturale, le idee, la propria voglia di mettersi in gioco, elaborando strategie e regole proprie, andando a pescare nei cassetti della memoria di quando si andava a scuola.

Dunque un’esperienza formativa per tutti, un’emozione unica, come testimonia il capitano della squadra del liceo Rambaldi-Valeriani di Imola Tommaso Fadda: "La cosa bella è far parte della squadra!".

E la matematica diventa – almeno in occasioni come questa – protagonista in senso positivo nella vita di questi ragazzi. Loro alle prossime gare ci saranno e si stanno già allenando per batterti, e tu?

 

La matematica non sarà mai il mio mestiere… o forse sì?!

L’incubo di ogni studente, quel mostro con la testa Ω, le braccia ∫, la pancia ∆ che si sfilaccia in pungenti tentacoli ∞, esce dalle scuole e si riversa nelle vie della città.

Surreale? Non proprio: è ciò che è avvenuto a Locarno (Svizzera) il 16 e 17 maggio scorso. Lì, la matematica, considerata per generazioni come una disciplina oscura e ostica, ha portato colore ed entusiasmo a tutti i visitatori.

L’obiettivo della manifestazione Matematicando, nata dall’impegno di docenti, collaboratori, responsabili e studenti del Dipartimento di Formazione e Apprendimento della SUPSI (Scuola universitaria professionale della Svizzera Italiana), era infatti quello di sensibilizzare i visitatori e svelare il lato nascosto della scienza dei numeri, per renderla più accattivante.

Da qui la scelta di suddividere il pubblico nelle due giornate: il venerdì è stato dedicato a insegnanti e alunni delle scuole dell’infanzia ed elementari, il sabato lo stesso programma era aperto a tutti, per coinvolgere anche genitori, nonni e fare in modo che l’approccio laboratoriale proposto si diffondesse anche tra le mura domestiche, perché, spesso, il mostro dei numeri spaventa anche gli adulti. Piccoli e grandi hanno avuto la possibilità di cimentarsi in giochi di strategia, rompicapo da risolvere, scommesse, attività motorie, l’affascinante mondo virtuale del software “Cabri Elem”.

Matematicando ha scosso la polvere che paralizza da troppo tempo la matematica, rendendola viva e leggera, moderna e alla portata di tutti: non sono stati presentati teoremi e le loro dimostrazioni, ma prove concrete che tutti quei numeri, quelle formule e quelle strane congetture sono solo l’ingrediente segreto con cui la matematica disgela la realtà che ci circonda. Musica, robotica, giocoleria, origami, bolle di sapone e molto altro si spiegano con questa disciplina che, liberandosi dai pregiudizi, può diventare fulcro di nuove esperienze e scoperte.

La manifestazione ha coinvolto principalmente i bambini, perché con la loro “meraviglia” possono testare senza pregiudizi le potenzialità della matematica e imparare ad usarla come strumento cognitivo. Come afferma la Prof.ssa Silvia Sbaragli, ideatrice di Matematicando, “Il senso della matematica dovrebbe essere legato anche al sottile fascino privo di applicazione che la matematica è in grado di esercitare, così come avviene per le altre discipline. Non si fa musica, arte, narrativa, teatro, cinema, letteratura solo per scopi concreti, per guadagnarci, ma per il gusto di farla, perché ci si crede. Perché non cercare di raggiungere questo ambizioso obiettivo anche con i nostri allievi per quanto concerne la matematica?”. E allora la matematica diventa creatività, gioco, immaginazione, scoperta! Quanta geometria dietro gli origami, quanta fisica deve conoscere un giocoliere per far roteare quattro palline in aria, quanta matematica dentro una favola…

Due giorni forse non bastano per cambiare la forma mentis della scuola, che da sempre insegna la matematica in modo troppo rigido e formale, ma sono sicuramente la scintilla che può portare la luce su qualcosa di nuovo.

Questa manifestazione è come se avesse regalato a ognuno un paio di occhiali con delle lenti speciali, che filtrano la realtà attraverso la visuale della scienza: tutto (o quasi) può essere spiegato con la matematica, la quale non è più il mostro spaventoso con la testa Ω, le braccia ∫, la pancia ∆ che si sfilaccia in pungenti tentacoli ∞, ma un’amica con cui giocare.

Pubblicato su XlaTangente

Catalan soffia 200 candeline

Eugene_charles_catalanIl 30 maggio 2014 si festeggiano i 200 anni dalla nascita di Eugène Charles Catalan, matematico belga, insegnante e appassionato di teoria dei numeri e teoria combinatoria. Nel 1825 iniziò i suoi studi all’École Polytechnique, famosa università parigina in cui fu anche docente di geometria descrittiva nel 1838, prima di essere frenato dalla sua attività politica: Catalan aveva infatti idee fortemente di sinistra, era un attivista politico, partecipò alle rivoluzioni del 1848 e si rifiutò di prestare giuramento all'impero.
La sua fama si deve principalmente alla famosa congettura formulata nel 1844, in una lettera all'editore del journal de Crelle
Vi prego, signore, di voler enunciare, nella vostra raccolta, il seguente teorema, che credo vero, nonostante non sia ancora riuscito a dimostrarlo completamente: altri potranno forse essere più fortunati: Due numeri interi consecutivi diversi da 8 e 9 non possono essere entrambi potenze esatte; in altre parole, l'equazione x^p-y^q = 1 a valore nei numerCatalan_number_4x4_grid_examplei interi positivi, ammette una sola soluzione. », diventata teorema nel 2002 grazie alla dimostrazione di Preda Mihăilescu, un matematico rumeno. La dimostrazione fu verificata da Yuri Bilu e fu pubblicata nel 2004 nel Journal für die reine und angewandte Mathematik. Essa fa un largo uso della teoria dei campi ciclotomici e dei moduli di Galois.
Catalan fu poi nominato nel 1883 per essere uno dei tre giurati incaricati di stabilire un premio per una dimostrazione dell'ultimo teorema di Fermat, dall'Accademia delle Scienze belga, che ancora oggi rilascia ogni 5 anni il premio Eugène-Catalan alla personalità belga o francese che abbia illuminato con la propria ricerca aspetti ignoti di matematica pura.
Il nome di questo matematico belga viene dato anche a dei particolari numeri, scoperti intorno al 1838 da Catalan stesso
nella risoluzione di un problema geometrico, ovvero: in quanti modi diversi si può suddividere un poligono convesso con n+2 lati in n triangoli, tracciandone le diagonali in modo che non si intersechino?
Catalan-Hexagons

La successione di questi numeri era stata già indicata dal matematico tedesco-ungherese Jan Andrej Segner e ancora prima da Eulero, ed è una successione individuata mediante una relazione ricorsiva non lineare i cui primi termini sono:

C_i = 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440,\ldots


pascal

Tali coefficienti possono essere collegati al triangolo di Pascal: se li moltiplichiamo rispettivamente per 1,2,3,4,5,6,7,8,9,\ldots otteniamo la colonna centrale del triangolo.
I numeri di Catalan sono quindi la risposta di molti problemi in matematica discreta e non una mera speculazione teorica. Si possono infatti trovare ulteriori e sorprendenti applicazioni dei numeri catalani in contesti apparentemente scorrelati.
Ad esempio è il numero delle possibili scomposizioni di un poligono regolare di n lati in triangoli, tramite diagonali che però non si intersecano. Oppure è il numero possibili percorsi più brevi su una griglia quadrettata di lato n, al variare del numero di quadretti , per andare da un estremo all'altro della diagonale principale senza attraversarla. O ancora il numero di coppie di parentesi possibili da collocare in un insieme di numeri che devono essere moltiplicati fra loro, due per volta.

Altre curiosità sui numeri di Catalan:
- C_n è dispari se e solo se n   è una potenza di 2 meno 1
- Tutti i divisori primi di C_n sono minori di 2n, ma C_n>2n-1 per n>4, quindi C_3=5 è l’unico numero di Catalan primo.

Fonti:

http://webmath2.unito.it/paginepersonali/romagnoli/catalan.pdf
http://webmath2.unito.it/paginepersonali/romagnoli/ghigo.pdf
http://areeweb.polito.it/didattica/polymath/htmlS/info/Numeri/Mag10/NumeriCatlan.htm
http://it.wikipedia.org/wiki/Eug%C3%A8ne_Charles_Catalan
http://www.aromatic.org/rudi/024.pdf

Il costo della rivolta contro i test Invalsi

tratto da Repubblica.it

di TITO BOERI

SOLO a settembre sapremo quali sono le conseguenze della "rivolta" contro i test Invalsi nelle scuole superiori, quanti esami sono stati consegnati in bianco, quanti studenti hanno disertato le prove. Sapremo anche quanti docenti hanno permesso che i loro studenti copiassero gli uni dagli altri, rendendo il test di apprendimento del tutto inutile. Ma è tempo già ora di organizzare la rivolta di coloro che pagheranno il costo di queste "agitazioni": i docenti, a partire da chi si è visto invalidare il test sulla propria materia da un collega che magari non li ha neanche informati della sua intenzione di boicottare l'esame, gli studenti e le loro famiglie. La rivolta contro l'invalidazione degli Invalsi dovrebbe andare ben al di là della difesa di queste prove. Come tutti i test, anche gli Invalsi sono perfettibili, a partire dalle modalità con cui vengono svolte e valutate le prove. Ci devono essere ispettori che controllino che agli studenti non venga permesso di copiare e i risultati devono essere valutati da docenti diversi da quelli degli allievi che hanno sostenuto la prova, che hanno tutti gli incentivi a far fare bella figura ai propri studenti. Bisognerebbe, al contempo, raccogliere informazioni sugli studenti assenti alle prove in modo tale da dissuadere gli istituti dall'incoraggiare assenze selettive degli studenti con le performance peggiori. A questo punto i risultati dei test potrebbero essere resi pubblici, scuola per scuola senza
timore di fornire segnali fuorvianti alle famiglie. Che devono comunque chiedere alle scuole informazioni aggiuntive rispetto ai test. 

Ad esempio, nell'era di Internet ogni docente dovrebbe affiggere sulla pagina web della scuola una nota in cui descrive a grandi linee come intende organizzare il programma di insegnamento e illustrare i propri metodi didattici e criteri di valutazione. Il nostro sistema scolastico permette alle famiglie, soprattutto nelle grandi città, di scegliere la scuola a cui iscrivere i propri figli. Ci sono vincoli in questa scelta, ma molto meno che in altri paesi, dove l'iscrizione è dettata unicamente dalla residenza. Questa maggiore possibilità di scelta dovrebbe fondarsi su informazioni adeguate sul valore aggiunto offerto dai diversi istituti alla formazione di chi si prepara per il mondo del lavoro. Invece paradossalmente in Italia ci sono meno informazioni che altrove sui contenuti formativi dei programmi didattici, sugli sbocchi professionali e sull'accesso all'università dei diplomati nei diversi istituti. A cosa si deve questo paradosso? 

Ci sono sicuramente barriere di natura ideologica ad ogni tipo di valutazione svolta dall'esterno. C' è poco da argomentare contro i pregiudizi. Bene ricordare un vecchio adagio popolare: "se non ti poni il problema di misurare una cosa, significa che quella cosa per te non ha alcun valore". Chi non vuole misurare la qualità
dell'istruzione, non assegna alcuna importanza alla scuola. C' è poi il rifiuto dei test standardizzati. Molti docenti ritengono che solo loro siano in grado di definire parametri di valutazione adeguati, che tengano conto della specificità del loro programma di insegnamento. La ragione ultima, talvolta inconsapevole, di queste obiezioni è che chi viene valutato vorrebbe sempre costruirsi il proprio test. Quelli standardizzati servono proprio ad evitare che i docenti scelgano di adottare criteri di valutazione favorevoli ai propri studenti, dunque a se stessi. E permettono di svolgere comparazioni del livello di apprendimento prima e dopo l'operato di un docente, oltre che fra classi e scuole diverse. Ci sono poi i timori di alcuni docenti che la valutazione possa ritorcersi contro di loro. Nel caso dei bravi docenti sono paure del tutto infondate: i miglioramenti compiuti dagli studenti nelle loro materie vengono ben monitorati da questi test che, non a caso, sono in genere molto coerenti fra di loro.

Non è neanche vero che le prove distolgano le scuole dal perseguimento dei programmi didattici inducendole a preparare gli studenti per i test, anziché perseguire i programmi didattici. Le conoscenze che i test intendono valutare sono parte integrante degli standard minimi educativi. E non è affatto detto che il cosiddetto "teaching to the test", insegnamento finalizzato a una migliore performance nel test, sia efficace. Ma forse gli ostacoli
più forti al miglioramento delle informazioni sulla qualità del nostro sistema scolastico vengono dalla politica. Senza questi dati non è possibile valutare le tante piccole modifiche, più di facciata che di sostanza, apportate da ministri che vogliono solo apporre una bandierina, mostrare di avere fatto una "riforma" che immancabilmente porta il loro nome. La mancanza di valutazione rafforza la discrezionalità della politica. Può fare tutti i cambiamenti che vuole, magari definendoli sperimentali. Tanto poi non ci sarà nessuno in grado di valutarne gli effetti. 

I test standardizzati permettono di valutare queste pseudo-riforme. Ad esempio, uno studio condotto da Erich Battistin, Ilaria Covizzi e Antonio Schizzerotto dell'Irvapp di Trento e basato proprio sui test Invalsi ha dimostrato che il ripristino dei cosiddetti esami a settembre (al posto del recupero dei debiti formativi in corso d'anno) ha accentuato le differenze quanto a conoscenze linguistiche tra studenti liceali e studenti di scuole
tecnico-professionali, peggiorando la qualità dell'istruzione soprattutto per chi viene da famiglie con redditi più bassi. Chi oggi rifiuta le valutazioni in nome dell'egualitarismo dovrebbe riflettere su questo risultato. Senza le informazioni offerte dai test standardizzati la battaglia contro la scuola di classe rischia di avere le armi spuntate.

Scuola, a cosa servono i test Invalsi

Tratto da www.lastampa.it

Tornano come ogni anno le prove Invalsi nelle scuole. E tornano dubbi e polemiche: sigle sindacali sul piede di guerra, insegnanti scettici e poco coinvolti, famiglie spaesate che avrebbero il diritto di capire meglio a che cosa servono davvero questi test che riguardano II e V elementare , III media e II superiore (quest'anno non ci sono più in I media). Ed è soprattutto alle famiglie, ma anche a molti insegnanti, che si dovrebbero indirizzare parole di chiarimento.

Che cosa sono i test Invalsi: sono prove « standardizzate » per misurare le competenze raggiunte dai ragazzi nella comprensione di un testo italiano e in matematica durante la loro carriera scolastica . Si dirà, non ci sono
già i voti per questo? Sì, ma prove come quelle Invalsi permettono di avere un metro comune per confrontare il livello raggiunto da uno studente di Torino con quello di uno di Palermo, ciò che i voti degli insegnanti non riescono a fare, perché seguono criteri discrezionali e dunque inevitabilmente diversi da docente a docente. Quali competenze misurano i test? Vero - come si sente dire - che non c'entrano niente con ciò che dovrebbe essere insegnato? Niente affatto, le competenze oggetto delle prove sono quelle descritte e prescritte dalle Indicazioni nazionali per il curricolo, il testo ufficiale che orienta l'offerta formativa delle scuole, pur riconoscendone l'autonomia: sono, dunque, proprio quelle che come collettività nazionale abbiamo deciso che i nostri ragazzi debbano apprendere; e lo saranno ancora di più quando avremo Indicazioni davvero soddisfacenti anche per le scuole superiori.
Che cosa non sono : non sono quiz, non premiano il nozionismo e chi ha memoria, non penalizzano chi ragiona. La può pensare così solo chi non ha mai letto una pagina di test Invalsi; un pregiudizio fatto proprio anche da intellettuali di primo piano, come Luciano Canfora. Ciò detto, è ovvio che le prove e la loro aderenza alle competenze che vogliono investigare possono essere ancora perfezionati: ma basta con la fola dei quiz.

A che cosa servono: sostanzialmente, (1) a capire in generale come va il sistema d'istruzione in Italia e (2) a dare informazioni sui punti di forza e di debolezza di ciascuna scuola, permettendole di confrontare i propri risultati con quelli delle altre scuole (tenendo conto naturalmente delle differenze economiche, sociali e culturali del contesto). Queste informazioni possono essere utili alle famiglie per compiere scelte più consapevoli e utilissime agli insegnanti e ai dirigenti scolastici per mettere a fuoco che cosa non va nella propria scuola e decidere misure di miglioramento. Naturalmente, il meccanismo virtuoso che dagli esiti delle prove Invalsi va alle terapie messe in atto dal corpo docente tanto meglio funziona quanto più i risultati vengono restituiti alle scuole in modo comprensibile: su questo l'Invalsi può fare meglio. Bene sarebbe, inoltre, estendere le prove
ad altre aree del sapere, come le scienze e la lingua inglese. A che cosa non servono: le prove Invalsi non possono e non devono essere usate per valutare i singoli docenti, specie se in ballo vi sono premi retributivi o di carriera. Secondo tutte le esperienze internazionali, esistono solide ragioni metodologiche, tecniche e pedagogiche (gli apprendimenti di uno studente sono il frutto di un lavoro di squadra) per escludere questa ipotesi,
che resta purtroppo il grande timore degli insegnanti. Vogliamo premiare il « merito » di ciascun docente? Sono d'accordo, ma cerchiamo altre strade (maggiori responsabilità ai presidi?), non le prove Invalsi. Inoltre, se le prove sono risorse affidabili per valutare apprendimenti e competenze, per loro natura non sono adatte a valutare la qualità di una scuola sotto altri aspetti cruciali: ad esempio, la capacità di inserire un ragazzo straniero o di essere inclusiva nei confronti di un disabile. Per questo, servono ulteriori strumenti, ad esempio, visite periodiche alle scuole da parte di osservatori specificamente preparati a questi compiti.
Concludendo: per migliorare l'istruzione pubblica in Italia le prove Invalsi servono, eccome; possono essere migliorate, ma sarebbe un errore abolirle.

Dobbiamo, però , essere consapevoli che esse sono solo uno dei pilastri su cui fondare la valutazione e il miglioramento delle scuole italiane.
Direttore Fondazione Giovanni Agnelli

Sfida all'ultimo arrotondamento

Homer Simpson vs Fermat

Vi ricordate di Homer? Personaggio principale del cartone animato “I Simpson”, grande mangiatore di ciambelle, formidabile bevitore di birra Duff e qualche volta, brillante matematico.

Tra una pausa e l’altra al bar di Boe, anche a lui piace divertirsi con formule ed equazioni matematiche. In particolare, nella puntata “La paura fa novanta VI” Homer viene catapultato in uno spazio cartesiano virtuale a tre dimensioni, ed è qui che alle sue spalle compare la formula 1782^{12} + 1841^{12} = 1922^{12} che, se fosse vera, smentirebbe l’ultimo teorema di Fermat e la dimostrazione di Andrew Wiles!

Infatti Pierre de Fermat nel 1637 affermò che non esistono soluzioni intere positive per n>2 della seguente equazione: a^n + b^n = c^n

Fermat non ne diede una dimostrazione scrivendo ai margini di una copia dell’Arithmetica di Diofanto: “Dispongo di una meravigliosa dimostrazione di questo teorema, che non può essere contenuta nel margine troppo stretto della pagina”. Dopo ben sette anni di “studio matto e disperatissimo” nel 1994 Wiles ne diede la dimostrazione.

Fortunatamente il duro lavoro di Fermat e Wiles non è stato inutile, l’equazione non è corretta. Se si svolge il calcolo con una normale calcolatrice a 10 cifre il risultato è esattamente quello alle spalle di Homer, ma questo perché è l’arrotondamento a farlo apparire corretto, infatti se facessimo il calcolo con una calcolatrice di almeno 13 cifre ci accorgeremo che invece è sbagliato. Inoltre il primo membro dell’equazione è pari, il secondo dispari, di conseguenza il risultato non può essere un numero pari.Homer coglie la sfida e ci riprova! Nella puntata “L’inventore di Springfield“, fornito di occhiali e gessetto, scrive alla lavagna la seguente equazione:

3987^{12}+ 4365^{12} = 4472^{12}

Homer vs Fermat

Questa volta Homer sembra davvero aver smentito il teorema di Fermat. Niente paura! Se utilizziamo una buona calcolatrice scopriamo che anche questa non è un’eguaglianza esatta.

L’artefice delle due equazioni, che hanno in un primo momento impaurito i matematici, è David X Cohen, sceneggiatore e produttore televisivo, laureato in fisica all’Università di Harvard e con un master in informatica teorica a Berkeley. Cohen ha dichiarato : "Avrei preferito vivere la mia intera vita come ricercatore. Ma penso che “I Simpson” rendano divertente la matematica". E aggiunge: "Con quest'idea in testa dormo tranquillo, e non mi rimorde la coscienza". Insieme a lui altri studiosi di matematica e fisica sono passati dai banchi di rinomate università al gruppo di sceneggiatori del cartone animato, proprio per questo la matematica investe così spesso il mondo di Springfield. Emblematica, a tale proposito, l’affermazione riguardo “I Simpsons” di Simon Singh, scrittore britannico specializzato in divulgazione scientifica: “..un complotto pluridecennale per insegnare segretamente la matematica agli spettatori dei cartoni animati.”

Approfondimento tratto da www.wired.com

Benvenuti al Grand Hotel...

“Quello è infinito, questo è infinito. Sottraendo questo infinito a quell’infinito, ciò che resta è infinito”
Isavasya Upanishad

Fu di David Hilbert, matematico tedesco vissuto fra il IX-XX secolo, l’idea di spiegare alcune caratteristiche del concetto di infinito attraverso il paradosso del Grand Hotel, come viene fatto nel video di Open Learn qui di seguito:

Hilbert immagina un Hotel molto grande, talmente grande da avere un numero infinito di camere, ed un numero infinito di clienti che le occupano.

Una sera si presenta un viaggiatore che chiede di soggiornare al Grand Hotel. Cosa deve fare il Direttore? La soluzione è semplice, il Direttore chiede ad ogni ospite di spostarsi nella camera accanto alla propria. Ad esempio, il cliente della stanza 1 si sposterà nella 2 , quello della 2 nella 3 , e quello della stanza n nella stanza n+1.

Il giorno dopo arriva un pullman con un numero infinito di viaggiatori. Qui la situazione si complica, ma il direttore non si perde d’animo. Chiede ad ogni cliente di spostarsi nella camera con il numero doppio rispetto a quella occupata, ovvero chi occupa la stanza 1 si sposta nella 2=1\cdot 2 , il cliente della 2 si sposta nella 4=2\cdot 2, quello della stanza n si sposta nella n\cdot 2. In questo modo resteranno libere le camere dispari, naturalmente infinite.

Hilbert complica ancora di più la situazione immaginando che infiniti hotel con infiniti clienti falliscano. Cosa si deve fare per poter ospitare tutti gli infiniti nuovi ospiti? Il Direttore ha una brillante intuizione matematica: bisogna creare una tabella dei clientschema_hilberti, dove il numero di righe indica l’Hotel di provenienza e il numero di colonne la camera occupata in quell'Hotel. È importante quindi contare tutti i nuovi clienti mettendoli in fila, muovendosi su questa tabella infinita in qualche modo, così da potersi riportare nella situazione precedente: ad esempio (1,1) nella stanza 1, (1,2) nella 2, (2,1) nella 3 e così via, come mostra la figura qui a fianco.

Quello che si evince è che l'infinito ha un comportamento molto misterioso e affascinante. Nel primo esempio ci accorgiamo che aggiungere un elemento a un insieme infinito non cambia il numero di elementi dell'insieme e già questo è paradossale se vi immaginate un insieme con un numero finito di elementi.

Il secondo ci dice che anche aggiungendo un numero infinito di elementi, il numero di elementi dell'insieme rimane lo stesso infinito. Bisogna fare un'altra osservazione sul secondo esempio: ad ogni numero naturale possiamo associare uno ed un solo numero pari mediante l'operazione di raddoppio e viceversa. Questo significa che stiamo mettendo in corrispondenza biunivoca l'insieme dei numeri naturali con l'insieme dei numeri pari, e che quindi hanno lo stesso numero di elementi.

Nell'ultimo caso possiamo immaginare le coppie di numeri della tabella come numeratore e denominatore di una frazione, la scelta di metterli tutti in fila ci permette di contare tutte le frazioni e ci dice quindi che anche l'insieme dei numeri razionali ha lo stesso numero di elementi dei numeri naturali. Pensate che solo fra 0 e 1 ci sono infiniti razionali.

L'insieme dei numeri naturali è un sottoinsieme dei razionali così come l'insieme dei numeri pari è un sottoinsieme dei naturali, quindi abbiamo messo in corrispondenza biunivoca un insieme con un suo sottoinsieme proprio! "Il tutto è maggiore di una sua parte"? In questo caso forse no...

L’Hotel di Hilbert riesce a risolvere, anche se non in modo molto confortevole per gli ospiti, tutti i problemi quando si tratta di infinità numerabili di elementi (cioè che si possono mettere in fila e contare), purtroppo però non quando abbiamo a che fare con infiniti di ordine superiore (ad esempio i numeri reali).