Le relazioni platoniche

Questa mostra è nata da un'idea del Prof. Roberto Giunti, che nel 2008 ha realizzato la prima edizione nell'ambito del progetto ministeriale "Lauree Scientifiche" al Liceo Leonardo di Brescia e poi presentata per la prima volta in occasione di BergamoScienza. La mostra appartiene all'Università Cattolica del Sacro Cuore di Brescia.

La mostra é un’esplorazione nel mondo dei poliedri e delle loro simmetrie e relazioni, ma è anche un viaggio affascinante alla ricerca del bello in matematica. I protagonisti principali dell’esposizione sono i cinque poliedri regolari, trattati da Euclide nei suoi Elementi, ma già descritti nel Timeo di Platone. A partire da questi la mostra si snoda in un percorso, anche storico, ricco di rimandi fra matematica e arte: dall’importante impulso dato alla geometria poliedrica da grandi protagonisti del rinascimento, alla ricerca dell’armonia universale di Keplero, fino alle geometrie impossibili delle visionarie opere di Escher, alla scoperta della dimensione estetica della creatività matematica. Il percorso espone innumerevoli modelli di poliedri, dai più semplici ai più complessi: platonici, archimedei, non convessi, stellati… ma non mancano invenzioni geometriche più recenti, dalle inattese e sorprendenti
proprietà.
Il visitatore è coinvolto nel percorso espositivo grazie alla presenza di numerosi dispositivi interattivi, meccanici e luminosi: veri e propri giocattoli matematici creati per illustrare in modo spettacolare intuitivo e coinvolgente le proprietà geometriche ed estetiche dei poliedri. Completano la mostra una serie di applicazioni della geometria poliedrica in svariati campi scientifici, dalla biologia alla chimica, dalla cristallografia all’astronomia, e una esposizione di origami a soggetto poliedrico.
Il percorso della mostra è articolato in quattro sezioni:

Prima sezione: Relazioni platoniche

La sezione si apre con la descrizione dei cinque solidi platonici. Attraverso essi e alcuni controesempi viene poi descritto il concetto di regolarità, che traduce in termini geometrici precisi l’idea di perfezione ideale di questi solidi espressa da Platone. Si mostra poi in modo semplice e visivamente efficace perché i poliedri regolari possono essere solo cinque. Successivamente vengono mostrate le costruzioni dei cinque solidi regolari. L’enfasi è posta sulla valenza estetica di queste costruzioni (una di queste, non nota ad Euclide, è una genuina invenzione matematica di Piero della Francesca). Vengono poi analizzate le numerose relazioni che intercorrono fra i solidi platonici, ed infine viene presentata la relazione molto generale di dualità. Chiude la sezione una digressione sul contributo dato da artisti rinascimentali alla ripresa della geometria poliedrica, sopita dopo i fasti Euclidei per più di un millennio. In particolare la mostra evidenzia i contributi fondamentali di Piero della Francesca, Luca Pacioli, Leonardo e Durer. Due fac-simile delle versioni manoscritte e a stampa del trattato di Pacioli “De divina proportione” contengono numerose illustrazioni riferibili direttamente alle costruzioni e relazioni mostrate nelle stazioni precedenti. Le relazioni fra i solidi platonici, illustrano la parentela stretta fra cubo e ottaedro da una parte, e fra icosaedro e dodecaedro dall’altra, mentre il tetraedro fa famiglia a sè. Queste relazioni sono propedeutiche all’idea di gruppo di simmetria illustrato nella sezione successiva.

In sintesi le stazioni della prima sezione:
- I poliedri platonici
- Il concetto di regolarità
- I poliedri regolari sono cinque
- La sezione aurea e la costruzione dei solidi platonici
- Relazioni che intercorrono fra i solidi platonici (relazioni platoniche)
- Relazione di dualità
- Il Rinascimento e la geometria poliedrica

Seconda sezione: Simmetrie

In questa sezione vengono riprese le osservazioni della sezione precedente, e vengono rielaborate attraverso l’idea di simmetria. Il percorso si apre con le isometrie che trasformano in sé i poliedri regolari; si mostra che esse giustificano la suddivisione in tre distinte famiglie dei poliedri platonici, osservate nella sezione precedente: cubo e ottaedro possiedono esattamente le stesse rotazioni e riflessioni, e lo stesso fanno il dodecaedro e l’icosaedro (in numero superiore), mentre il tetraedro ha un numero di simmetrie inferiore agli altri solidi. Ciascuna delle tre famiglie di trasformazioni (i tre gruppi di simmetria del tetraedro, dell’ottaedro e cubo, e dell’icosaedro e dodecaedro), viene visivamente ricreata attraverso tre caleidoscopi (triedri a facce specchianti) di cui è illustrata la costruzione. Questi caleidoscopi vengono utilizzati per mostrare come attraverso le simmetrie possono essere ottenuti “in economia” i 5 solidi platonici a partire da un piccolo elemento. Aiutano anche a capire che i solidi platonici sono inscritti in una sfera. Sono infine utilizzati per mostrare che infiniti altri poliedri possono essere ottenuti, tutti con le stesse simmetrie caratteristiche del gruppo. In questa sede è introdotta l’idea di semiregolarità. Alcuni dispositivi meccanici basati sui caleidoscopi vengono utilizzati per creare graduali trasformazioni da un poliedro a un altro (morphing). In particolare, come è possibile ottenere 11 dei 13 poliedri semiregolari, visibili per altro anche in modelli statici con cui sono facilmente confrontabili. Questo dispositivo permette anche di illustrare il procedimento di troncamento. Gli ultimi due poliedri semiregolari sono l’oggetto dell’ultima stazione della seconda parte. Si mostra attraverso dispositivi meccanici che non possiedono le riflessioni ma solo le rotazioni dei corrispondenti gruppi di simmetria. Vengono anche mostrati altri oggetti di svariata natura che condividono la stessa proprietà geometriche. Chiude la sezione una digressione sul ruolo degli artisti rinascimentali nella riscoperta dei poliedri semiregolari. Questi poliedri erano già noti ad Archimede nel terzo secolo AC, ma i matematici del primo quattrocento erano del tutto sconosciuti. L’ultimo poliedro semiregolare è stato riscoperto da Keplero, cui dobbiamo anche una dimostrazione del fatto che essi sono esattamente 13 e non di più. Con i contributi di Keplero la geometria poliedrica rientra nell’alveo della ricerca matematica.

Percorso della seconda sezione in sintesi:
- Le isometrie dei poliedri regolari: riflessioni e rotazioni
- Tre gruppi di simmetria dei poliedri regolari
- I caleidoscopi e le sfere di Moebius
- I poliedri semiregolari con riflessione
- Morphing dei poliedri con riflessione
- I poliedri semiregolari senza riflessioni (poliedri chirali)
- Sole rotazioni: Jitterbugs, tensegrity e altro ancora
- La riscoperta dei poliedri semiregolari nel rinascimento

Terza sezione: Cosa è un poliedro

Questa sezione permette di avere uno sguardo sulla geometria poliedrica sviluppata a partire da Keplero in avanti. Alcuni dispositivi mostrano il concetto di stellazione di un poliedro ed in particolare sono considerate le stellazioni del dodecaedro e dell’icosaedro, da cui vengono ottenuti i quattro solidi regolari non convessi di Keplero e Poinsot. Semplici caleidoscopi offrono in diversi modi immagini spettacolari di alcuni poliedri stellati. Le stazioni successive mostrano alcune curiosità poliedriche, scoperte per lo più da matematici del 900. Dai bizzarri poliedri di Csaszar (senza diagonali) e Szilassi (ogni faccia confina con ogni altra, con interessanti aperture sul teorema dei quattro colori) ai poliedri non orientabili (in cui non è possibile distinguere il dentro dal fuori), vere curiosità per topologi, dai poliedri flessibili (la cui storia nasce da una problematica definizione data da Euclide, e che per i matematici costituiscono ancora oggi materia di una congettura non dimostrata) ai poliedri impossibili delle visionarie opere di Escher (ma sono davvero impossibili?). E non manca una piccola apertura sui politopi della quarta dimensione. Questa ricchezza di nuove forme dalle proprietà così disparate e sorprendenti suggerisce una domanda: Cosa è esattamente un poliedro? Come possiamo definirlo? L’ultima stazione è dedicata a questo problema. Si comincia presentando la formula di Eulero, una importante e semplice relazione che lega il numero di facce, spigoli e vertici di un poliedro. Un semplice dispositivo a caduta dà una dimostrazione visiva immediata di questa celebre formula. Poi, seguendo Moebius, questa formula viene utilizzata per discriminare cosa deve essere considerato poliedro e cosa no.

Il percorso della sezione in sintesi:
- Il concetto di stellazione di un poliedro
- Le stellazioni del dodecaedro e dell’icosaedro
- I poliedri regolari non convessi (di Poinsot e Keplero)
- Poliedri curiosi (senza diagonali, flessibili, non orientabili, a quattro dimensioni, impossibili)
- La formula di Eulero
- La definizione di poliedro

Quarta sezione: Poliedri e…

L’ultima sezione è una breve rassegna di alcune applicazioni della geometria poliedrica a svariati ambiti scientifici e nell’arte. In ambito chimico vengono presentati reticoli e molecole, la cui struttura si descrive attraverso la geometria dei poliedri; sono mostrati modelli di reticoli con struttura tetraedrica (biossido di silicio) o cubica (cloruro di sodio), nonché un modello di molecola con simmetria icosaedrica (il celebre C60, una macromolecola del carbonio, appartenente ai cosiddetti fullereni). Talvolta le microstrutture reticolari e molecolari determinano la geometria degli aggregati macroscopici; è il caso dei cristalli minerali, la cui classificazione è legata alle simmetrie dei poliedri che idealizzano la loro struttura. In mostra sono visibili esempi di minerali di svariate tipologie cristallografiche. Si passa poi dall’inanimato alle forme viventi. Si comincia da radiolari e diatomee, mostrati al microscopio, i cui scheletri silicei hanno strutture poliedriche elaborate ed affascinanti (con possibili interessanti collegamenti alla formula di Eulero). Poi è la volta dei virus, coi loro capsidi dalle inattese simmetrie icosaedriche.
Si passa poi all’astronomia, con l’illustrazione di un celebre modello astronomico di Keplero, in cui egli spiegava la struttura delle orbite dei pianeti allora noti del sistema solare attraverso i cinque poliedri platonici, nel tentativo di ricondurre l’armonia delle sfere celesti e del progetto divino all’armonia e perfezione delle forme geometriche descritte da Platone. Conclude la mostra un’esibizione di origami a soggetto poliedrico. L’antica arte della carta piegata è basata su regole tempo semplici ma costrittive: il foglio può essere piegato ma non strappato o tagliato, e non sono ammesse incollature o colorazioni. In mostra vi sono sia variazioni sul tema dei poliedri regolari, sia fantasiose creazioni che trattano più liberamente il tema delle simmetrie poliedriche.

Il percorso dell’ultima sezione in sintesi:
- Poliedri in chimica (reticoli e molecole)
- Poliedri in cristallografia (cristalli e minerali)
- Poliedri nei radiolari
- Poliedri nei virus
- Poliedri in astronomia
- Poliedri e origami.