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11 Maggio 2014 By Alessandro

Scuola, a cosa servono i test Invalsi

Tratto da www.lastampa.it

Tornano come ogni anno le prove Invalsi nelle scuole. E tornano dubbi e polemiche: sigle sindacali sul piede di guerra, insegnanti scettici e poco coinvolti, famiglie spaesate che avrebbero il diritto di capire meglio a che cosa servono davvero questi test che riguardano II e V elementare , III media e II superiore (quest’anno non ci sono più in I media). Ed è soprattutto alle famiglie, ma anche a molti insegnanti, che si dovrebbero indirizzare parole di chiarimento.

Che cosa sono i test Invalsi: sono prove « standardizzate » per misurare le competenze raggiunte dai ragazzi nella comprensione di un testo italiano e in matematica durante la loro carriera scolastica . Si dirà, non ci sono
già i voti per questo? Sì, ma prove come quelle Invalsi permettono di avere un metro comune per confrontare il livello raggiunto da uno studente di Torino con quello di uno di Palermo, ciò che i voti degli insegnanti non riescono a fare, perché seguono criteri discrezionali e dunque inevitabilmente diversi da docente a docente. Quali competenze misurano i test? Vero – come si sente dire – che non c’entrano niente con ciò che dovrebbe essere insegnato? Niente affatto, le competenze oggetto delle prove sono quelle descritte e prescritte dalle Indicazioni nazionali per il curricolo, il testo ufficiale che orienta l’offerta formativa delle scuole, pur riconoscendone l’autonomia: sono, dunque, proprio quelle che come collettività nazionale abbiamo deciso che i nostri ragazzi debbano apprendere; e lo saranno ancora di più quando avremo Indicazioni davvero soddisfacenti anche per le scuole superiori.
Che cosa non sono : non sono quiz, non premiano il nozionismo e chi ha memoria, non penalizzano chi ragiona. La può pensare così solo chi non ha mai letto una pagina di test Invalsi; un pregiudizio fatto proprio anche da intellettuali di primo piano, come Luciano Canfora. Ciò detto, è ovvio che le prove e la loro aderenza alle competenze che vogliono investigare possono essere ancora perfezionati: ma basta con la fola dei quiz.

A che cosa servono: sostanzialmente, (1) a capire in generale come va il sistema d’istruzione in Italia e (2) a dare informazioni sui punti di forza e di debolezza di ciascuna scuola, permettendole di confrontare i propri risultati con quelli delle altre scuole (tenendo conto naturalmente delle differenze economiche, sociali e culturali del contesto). Queste informazioni possono essere utili alle famiglie per compiere scelte più consapevoli e utilissime agli insegnanti e ai dirigenti scolastici per mettere a fuoco che cosa non va nella propria scuola e decidere misure di miglioramento. Naturalmente, il meccanismo virtuoso che dagli esiti delle prove Invalsi va alle terapie messe in atto dal corpo docente tanto meglio funziona quanto più i risultati vengono restituiti alle scuole in modo comprensibile: su questo l’Invalsi può fare meglio. Bene sarebbe, inoltre, estendere le prove
ad altre aree del sapere, come le scienze e la lingua inglese. A che cosa non servono: le prove Invalsi non possono e non devono essere usate per valutare i singoli docenti, specie se in ballo vi sono premi retributivi o di carriera. Secondo tutte le esperienze internazionali, esistono solide ragioni metodologiche, tecniche e pedagogiche (gli apprendimenti di uno studente sono il frutto di un lavoro di squadra) per escludere questa ipotesi,
che resta purtroppo il grande timore degli insegnanti. Vogliamo premiare il « merito » di ciascun docente? Sono d’accordo, ma cerchiamo altre strade (maggiori responsabilità ai presidi?), non le prove Invalsi. Inoltre, se le prove sono risorse affidabili per valutare apprendimenti e competenze, per loro natura non sono adatte a valutare la qualità di una scuola sotto altri aspetti cruciali: ad esempio, la capacità di inserire un ragazzo straniero o di essere inclusiva nei confronti di un disabile. Per questo, servono ulteriori strumenti, ad esempio, visite periodiche alle scuole da parte di osservatori specificamente preparati a questi compiti.
Concludendo: per migliorare l’istruzione pubblica in Italia le prove Invalsi servono, eccome; possono essere migliorate, ma sarebbe un errore abolirle.

Dobbiamo, però , essere consapevoli che esse sono solo uno dei pilastri su cui fondare la valutazione e il miglioramento delle scuole italiane.
Direttore Fondazione Giovanni Agnelli

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27 Aprile 2014 By Alessandro

Sfida all'ultimo arrotondamento

Homer Simpson vs Fermat

Vi ricordate di Homer? Personaggio principale del cartone animato “I Simpson”, grande mangiatore di ciambelle, formidabile bevitore di birra Duff e qualche volta, brillante matematico.

Tra una pausa e l’altra al bar di Boe, anche a lui piace divertirsi con formule ed equazioni matematiche. In particolare, nella puntata “La paura fa novanta VI” Homer viene catapultato in uno spazio cartesiano virtuale a tre dimensioni, ed è qui che alle sue spalle compare la formula  che, se fosse vera, smentirebbe l’ultimo teorema di Fermat e la dimostrazione di Andrew Wiles!

Infatti Pierre de Fermat nel 1637 affermò che non esistono soluzioni intere positive per della seguente equazione:

Fermat non ne diede una dimostrazione scrivendo ai margini di una copia dell’Arithmetica di Diofanto: “Dispongo di una meravigliosa dimostrazione di questo teorema, che non può essere contenuta nel margine troppo stretto della pagina”. Dopo ben sette anni di “studio matto e disperatissimo” nel 1994 Wiles ne diede la dimostrazione.

Fortunatamente il duro lavoro di Fermat e Wiles non è stato inutile, l’equazione non è corretta. Se si svolge il calcolo con una normale calcolatrice a 10 cifre il risultato è esattamente quello alle spalle di Homer, ma questo perché è l’arrotondamento a farlo apparire corretto, infatti se facessimo il calcolo con una calcolatrice di almeno 13 cifre ci accorgeremo che invece è sbagliato. Inoltre il primo membro dell’equazione è pari, il secondo dispari, di conseguenza il risultato non può essere un numero pari.Homer coglie la sfida e ci riprova! Nella puntata “L’inventore di Springfield“, fornito di occhiali e gessetto, scrive alla lavagna la seguente equazione:

Homer vs Fermat

Questa volta Homer sembra davvero aver smentito il teorema di Fermat. Niente paura! Se utilizziamo una buona calcolatrice scopriamo che anche questa non è un’eguaglianza esatta.

L’artefice delle due equazioni, che hanno in un primo momento impaurito i matematici, è David X Cohen, sceneggiatore e produttore televisivo, laureato in fisica all’Università di Harvard e con un master in informatica teorica a Berkeley. Cohen ha dichiarato : “Avrei preferito vivere la mia intera vita come ricercatore. Ma penso che “I Simpson” rendano divertente la matematica”. E aggiunge: “Con quest’idea in testa dormo tranquillo, e non mi rimorde la coscienza“. Insieme a lui altri studiosi di matematica e fisica sono passati dai banchi di rinomate università al gruppo di sceneggiatori del cartone animato, proprio per questo la matematica investe così spesso il mondo di Springfield. Emblematica, a tale proposito, l’affermazione riguardo “I Simpsons” di Simon Singh, scrittore britannico specializzato in divulgazione scientifica: “..un complotto pluridecennale per insegnare segretamente la matematica agli spettatori dei cartoni animati.”

Approfondimento tratto da www.wired.com

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21 Aprile 2014 By Alessandro

Benvenuti al Grand Hotel...

“Quello è infinito, questo è infinito. Sottraendo questo infinito a quell’infinito, ciò che resta è infinito”
Isavasya Upanishad

Fu di David Hilbert, matematico tedesco vissuto fra il IX-XX secolo, l’idea di spiegare alcune caratteristiche del concetto di infinito attraverso il paradosso del Grand Hotel, come viene fatto nel video di Open Learn qui di seguito:

Hilbert immagina un Hotel molto grande, talmente grande da avere un numero infinito di camere, ed un numero infinito di clienti che le occupano.

Una sera si presenta un viaggiatore che chiede di soggiornare al Grand Hotel. Cosa deve fare il Direttore? La soluzione è semplice, il Direttore chiede ad ogni ospite di spostarsi nella camera accanto alla propria. Ad esempio, il cliente della stanza 1 si sposterà nella 2 , quello della 2 nella 3 , e quello della stanza n nella stanza n+1.

Il giorno dopo arriva un pullman con un numero infinito di viaggiatori. Qui la situazione si complica, ma il direttore non si perde d’animo. Chiede ad ogni cliente di spostarsi nella camera con il numero doppio rispetto a quella occupata, ovvero chi occupa la stanza 1 si sposta nella , il cliente della 2 si sposta nella , quello della stanza si sposta nella . In questo modo resteranno libere le camere dispari, naturalmente infinite.

Hilbert complica ancora di più la situazione immaginando che infiniti hotel con infiniti clienti falliscano. Cosa si deve fare per poter ospitare tutti gli infiniti nuovi ospiti? Il Direttore ha una brillante intuizione matematica: bisogna creare una tabella dei clientschema_hilberti, dove il numero di righe indica l’Hotel di provenienza e il numero di colonne la camera occupata in quell’Hotel. È importante quindi contare tutti i nuovi clienti mettendoli in fila, muovendosi su questa tabella infinita in qualche modo, così da potersi riportare nella situazione precedente: ad esempio (1,1) nella stanza 1, (1,2) nella 2, (2,1) nella 3 e così via, come mostra la figura qui a fianco.

Quello che si evince è che l’infinito ha un comportamento molto misterioso e affascinante. Nel primo esempio ci accorgiamo che aggiungere un elemento a un insieme infinito non cambia il numero di elementi dell’insieme e già questo è paradossale se vi immaginate un insieme con un numero finito di elementi.

Il secondo ci dice che anche aggiungendo un numero infinito di elementi, il numero di elementi dell’insieme rimane lo stesso infinito. Bisogna fare un’altra osservazione sul secondo esempio: ad ogni numero naturale possiamo associare uno ed un solo numero pari mediante l’operazione di raddoppio e viceversa. Questo significa che stiamo mettendo in corrispondenza biunivoca l’insieme dei numeri naturali con l’insieme dei numeri pari, e che quindi hanno lo stesso numero di elementi.

Nell’ultimo caso possiamo immaginare le coppie di numeri della tabella come numeratore e denominatore di una frazione, la scelta di metterli tutti in fila ci permette di contare tutte le frazioni e ci dice quindi che anche l’insieme dei numeri razionali ha lo stesso numero di elementi dei numeri naturali. Pensate che solo fra 0 e 1 ci sono infiniti razionali.

L’insieme dei numeri naturali è un sottoinsieme dei razionali così come l’insieme dei numeri pari è un sottoinsieme dei naturali, quindi abbiamo messo in corrispondenza biunivoca un insieme con un suo sottoinsieme proprio! “Il tutto è maggiore di una sua parte“? In questo caso forse no…

L’Hotel di Hilbert riesce a risolvere, anche se non in modo molto confortevole per gli ospiti, tutti i problemi quando si tratta di infinità numerabili di elementi (cioè che si possono mettere in fila e contare), purtroppo però non quando abbiamo a che fare con infiniti di ordine superiore (ad esempio i numeri reali).

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21 Aprile 2014 By Alessandro

I numeri primi e il Teorema di Green-Tao

I numeri primi sono numeri divisibili solamente per uno e per sé stessi, sono uno dei concetti basilari della teoria dei numeri, infatti qualsiasi numero naturale diverso da uno può essere scomposto in fattori primi, inoltre, tale scomposizione è unica. I numeri primi sono infiniti ed il più piccolo è il numero 2, tutti gli altri sono dispari in quanto ogni numero pari è divisibile per 2.

Nonostante vengano studiati sin dall’antichità (“Elementi di Euclide” 300 a.C) numerose congetture non sono ancora state dimostrate, come ad esempio l’ipotesi di Riemann e la congettura dei primi gemelli.

“I numeri primi sono ciò che rimane una volta eliminati tutti gli schemi: penso che i numeri primi siano come la vita. Sono molto logici ma non si riesce mai a scoprirne le regole, anche se si passa tutto il tempo a pensarci su”

Mark Haddon

Dalle prime congetture nel 300 a.C facciamo un salto nel 2004, anno in cui Ben Green e Terence Tao, operando un’estensione di quello che è il teorema di Szemerédi, dimostrano uno splendido teorema sui numeri primi, affermando che la sequenza dei numeri primi contiene progressioni aritmetiche arbitrariamente lunghe e che, dato un qualsiasi numero naturale N, c’è sempre un primo e un intero positivo , in modo che anche

siano primi. Ad esempio, se , , avremo la seguente progressione aritmetica:

Va comunque notato che questo teorema, di difficile dimostrazione teorica, dimostra l’esistenza di queste progressioni ma non fornisce un modo per trovarle e quindi è di difficile applicazione pratica.

Terence Tao ha esteso poi i risultati alle progressioni polinomiali dimostrando che: dati polinomi in un’incognita : con intero positivo, esistono infiniti interi e tali che

siano contemporaneamente primi.

Ulteriori approfondimenti qui

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19 Aprile 2014 By Alessandro

Il lavoro più bello del mondo

Come ogni anno Carrercast.com ha pubblicato la sua classifica dei 200 migliori e peggiori lavori, tenendo conto di specifici fattori quali lo stress, la retribuzione, l’ambiente di lavoro e altri (puoi leggere l’articolo qui)

Noi qui ci soffermeremo sulle 10 professioni migliori, fra le quali al primo posto troviamo il matematico. Jessika Sobanski, studiosa di matematica di San Diego, intervistata da Kyle Kensing per Careercast.com, afferma che una delle caratteristiche più importlavoroanti del mestiere è la sua versatilità, infatti “vi sono tantissime opportunità per i matematici, la carriera nell’ambito scolastico è solo una fra le tante possibilità”. Tutto si basa sui numeri, per questo un crescente numero di aziende ricerca matematici per diversi impieghi e per ogni genere di progetti: qual è il modo più efficace per lavorare in una rete di distribuzione? Dove conviene investire? Quale investimento ha il rischio minore? Inoltre questa professione si è classificata fra quelle più ricompensate del 2014, con un salario medio annuo nel 2013 di $ 101.360. Il settore ha prospettive luminose per il futuro, con un tasso di crescita previsto per il 2022 del 23%.

Ambiente di lavoro, minore stress ed un più alto stipendio rispetto ad altri impieghi hanno contribuito a far posizionare il mestiere del professore universitario di ruolo al secondo posto della classifica. Oltre a tutto questo però, forse ciò che rende così appetibile l’impiego del professore è la gratificazione che si ha nell’insegnare ad altri.

Seguono nella classifica lavori legati anch’essi ai numeri: terzo posto per lo statistico e quarto per l’attuario, il primo analizza ed interpreta i dati derivanti da esperimenti o indagini campionarie, il secondo sempre attraverso dati statistici valuta il rischio delle azioni intraprese.

La sanità e l’Information Technology sono due dei settori più forti e stabili. Negli Stati Uniti il tasso di disoccupazione nel settore della sanità alla fine del 2013 era del 4.1% minore circa del 2.6% del tasso della forza lavoro. Troviamo quindi rispettivamente al quinto, sesto, nono e decimo posto l’audiologo, l’igienista dentale, il terapista occupazionale e il logopedista.

Il tasso di disoccupazione nel settore dell’Information Technology era invece del 4.8% , due professioni del settore fanno parte delle top 10 di questa classifica: l’ingegnere informatico al settimo posto e l’analista di sistemi informatici all’ottavo.

Grandi soddisfazioni per chi intraprende la carriera del matematico, diversa la situazione per i giornalisti ed i taglialegna… (trovi il link dei 10 lavori peggiori qui).

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14 Aprile 2014 By Alessandro

Un saluto a Emma Castelnuovo

Risale a non molte ore fa la notizia della scomparsa di Emma Castelnuovo. Il suo è un nome molto noto a tutti coloro che si sono dedicati allo studio della Didattica della matematica e il suo contributo resterà per sempre nella storia di questa disciplina, in Italia e non solo.

castelnuovo2

Emma Castelnuovo era un’insegnante di scuola media. Nata nel 1913 a Roma, si può dire che fosse una vera e propria figlia d’arte dato che suo padre era il matematico Guido Castelnuovo e suo zio l’altrettanto famoso Federico Enriques- che fu anche suo relatore di tesi.

La carica rivoluzionaria che Enriques e Castelnuovo portarono nel loro lavoro fondazionale in Geometria Algebrica, Emma l’ebbe nella didattica della Matematica. La sua è stata una vita ricca di eventi ma soffermiamoci sul contributo che ha dato alla scuola.

Sicuramente la sua creazione più famosa è la “Geometria intuitiva”: un approccio allora (ma forse anche oggi) estremamente inusuale alla geometria euclidea per quella che oggi chiamiamo scuola secondaria di primo grado. Le figure geometriche della professoressa Castelnuovo erano figure dinamiche quando ancora computer, software di geometria dinamica e LIM non erano neanche immaginabili: stecchette, corde, elastici e fili a piombo erano gli strumenti per creare e trasformare poligoni o poliedri.

La storia della matematica entrava nei suoi testi come parte integrante e stimolo per il curricolo di matematica, la matematizzazione della realtà era oggetto quotidiano delle sue lezioni, la matematica era intesa come un luogo da esplorare e scoprire; in poche parole quello che poi è stato definito come il “laboratorio di matematica” è sempre stato il suo modo di concepire la didattica ( “La classe come laboratorio di matematica” è il titolo di un capitolo di uno dei suoi libri più famosi). I testi di Emma (articoli, libri, anche testi per gli studenti) offrono quindi, ancora oggi, spunti notevoli per metodologie didattiche, attività da realizzare, problemi da porre agli studenti. Una lettura dei suoi libri non può che essere fonte di ispirazione per gli insegnanti di matematica della scuola media, degli altri livelli scolastici e non solo (si confronti l’immagine riportata sotto, tratta da “Geometria intuitiva” col quesito 14 della prova INVALSI di terza media del 2012).

castelnuovo1

Andrea Maffia

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10 Aprile 2014 By Alessandro

Skuola.net

Prova Invalsi 2014: dubbi? Risponde l’esperto www.skuola.net

La Prova Invalsi si avvicina: avete ancora dei dubbi da che vi attanagliano? Non preoccupatevi, Skuola.net ha intervistato per voi Roberto Ricci, Responsabile Nazionale Invalsi

Vai all’articolo

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29 Marzo 2014 By Elena

La Matematica è dappertutto

Nel numero 42 di Xlatangente è stato pubblicato l’articolo La Matematica è dappertutto scritto da Alice Lemmo e Emanuela Ciotti nell’ambito di due progetti di divulgazione, MateBologna e MateBergamo, realizzati da ForMATH rispettivamente per conto della Fondazione Marino Golinelli e dell’Associazione BergamoScienza.

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18 Febbraio 2014 By Alessandro

Progetto eccellenze 2014: Geometria...impossibile

Anche quest’anno l’IIS Volta ha organizzato eventi volti alla divulgazione del pensiero scientifico e alla valorizzazione delle “eccellenze”.

I ragazzi migliori della scuola hanno partecipato a quattro giornate di lavori: seminari, attività laboratoriali su temi che non rientrano nei programmi curriculari.

Mercoledì 8 gennaio e giovedì 9 sono stati impegnati con il prof. Giorgio Bolondi dell’Università di Bologna sul tema della “Geometria … impossibile”.

Lo spunto da cui i ragazzi sono partiti per le loro riflessioni sono 13 quadri originale di Oscar Reutersvard che l’associazione FORMATH ha consegnato alla scuola.

La mostra di opere originali del padre delle figure impossibili, l’artista svedese Oskar Reutersvard ha offerto agli studenti l’occasione di “vivere” un percorso attraverso la geometria delle illusioni ottiche.

Misure di lunghezze, di angoli e di aree, parallelismo e perpendicolarità, proporzioni, trasformazioni: molti concetti familiari della geometria possono venire esplorati attraverso i paradossi delle illusioni geometriche.

Anche gli insegnanti sono stati impegnati in questa avventura partecipando ad un seminario di formazione.

Nei due giorni successivi i ragazzi, con la guida di Gian Marco Todesco, hanno preso spunto per realizzare immagini e animazioni, utilizzando il software POV-RAy, un prodotto open source, si tratta di un cosiddetto ray-tracer: il programma legge una descrizione testuale di una scena costituita da un certo numero di oggetti geometrici, sorgenti di luce, etc. e ne genera un’immagine fotorealistica con ombre, riflessi, trasparenze, etc.

POV-RAy dà l’opportunità di “utilizzare” la matematica in un contesto veramente differente, che favorisce, inoltre, un apprendimento per competenze.

Il prof. Todesco ha tenuto anche il seminario “Automi Cellulari: Il gioco della Vita” di J. H. Conway.

Leggi l’articolo sul sito della scuola

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23 Maggio 2013 By Alessandro

I numeri primi sono meno distanti

A volte basta un’intuizione per sbloccare una ricerca ferma da anni, proprio com’è successo a Yitang Zhang, matematico dell’università del New Hampshire. Zhang pare essere riuscito in quella che si può definire un’impresa: fare un passo avanti nella dimostrazione della congettura dei numeri primi gemelli…. continua su Oggiscienza

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